（二）分数数列
核心知识
1.分数数列是以“数列当中各分数的分子与分母”为研究对象的数列形式。
2.当数列中含有少量非分数形式，需要以“整化分”的方式将其形式统一。
3.当数列中含有少量分数，往往是以下三种题型：①负幂次形式；②做商多级数列；③递推乘积数列。
4.当分数的分子与分母含有相同因子时，将其化成最简式。
5.通分，当分数的分母很容易化为一致时，将其化为相同数。
6.反约分，适当扩大分子分母，有时可使分子一致。
7.分母（或分子）有理化：当分数中含有根式时，对其进行分母（或分子）有理化。
典型真题精讲
【例1】 1，12，313，110，5121，()。
A. 7144B. 3182C. 5169D. 9196
【解析】 本题正确答案为B。原数列反约分后变成：11，24，313，440，5121，（）。
分子为等差数列：1，2，3，4，5，（6）；
分母为差后等比数列：
故空缺项为6364＝3182，选B。
【例2】 89，-23，12，-38，（）。
A. 932B. 572C. 832D. 923
【解析】 本题正确答案为A。
通分：6472，-4872，3672，-2772，（）；
分子成等比数列，公比是-34，（）=-34×（-27）72＝932。
【名师点评】 事实上本数列就是一个等比数列，应试者如有兴趣两两做商也可得出正确答案。
【例3】 23，12，25，13，27，()。
A. 16B. 18C. 14D. 19
【解析】 本题正确答案为C。数列中分子多为2，因此将原数列可化为23，24，25，26，27，推测下一项为28，即14。
【例4】 2，32，109，78，1825，（）。
A. 514B. 1118C. 1327D. 2649
【解析】 本题正确答案为B。原数列变形后得到新数列:21,64,109,1416,1825,()。分子是公差为4的等差数列，分母为平方数列，故下一项为2236=1118，B项正确。
【例5】 0，16，38，12，12，（）。
A. 513B. 713C. 512D. 712
【解析】 本题正确答案为C。反约分得：05，16，38，612，1020，分子：0，1，3，6，10为二级等差数列，所求数的分子为15；分母：5，6，8，12，20为差后等比数列，所求数的分母为36，故括号处应为1536＝512。
【例6】 1，12，611，1729，2338，（）。
A.  122199B.  117191C.  3147D.  2845
【解析】 本题正确答案为A。可将原数列变为11,24,611,1729,4676，则分子=前一项的分子+前一项的分母，分母=分子+前一项的分母+1，故（）的分子为46+76=122，分母为122+76+1=199，选A。
【例7】 23，14，215，112，235，（）。
A. 132B. 332C. 124D. 526
【解析】 本题正确答案为C。分子通分：23，28，215，224，235，（248=124）。分母为二级等差数列。
【名师点评】 当分数的分子很容易化为同一个数时，将分子通分。
【例8】 12，1，78，58，1332，（）。
A. 14B. 1564C. 1164D. 764
【解析】 本题正确答案为A。
反约分：12，44，78，1016，1332，（），故（）＝1664＝14。
【名师点评】 “反约分”是指同时扩大数列当中某些分数的分子与分母（分数大小未变），从而使得分数的分子数列与分母数列形成简单数列。“反约分”数列是分数数列中最具技巧性的一类，也是现在分数数列命题的主要方向。

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