2021-04-12 10:40:43 万州华图 https://cq.huatu.com/wanzhou 文章来源:未知
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容斥问题对于大多数考生来说并不陌生,在高中数学中我们就有所接触。严格意义上来讲容斥问题是一种计数方式:是在先不考虑重叠的情况下,把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来,然后再把计数时重复计算的数目排斥出去,使得计算的结果既无遗漏又无重复,这种计数的方法称为容斥原理。
容斥原理可分为二集合容斥和三集合容斥。下面我们根据陕西考情,由易到难分别对两种情况予以介绍,重点讲解标准型公式法。
考点一:两集合容斥问题
两集合容斥问题是最基本的容斥问题。解决两集合容斥一般采用公式法以及画图法。
(一)公式法
两集合容斥问题的公式:满足条件A的情况数+满足条件B的情况数-两者都满足的情况数=总的情况数-两者都不满足的情况数。一般情况下,都可以使用公式法进行计算。
【例1】某班共有42名同学,喜欢读小说的有25人,喜欢读诗歌的有30人,既喜欢读小说又喜欢读诗歌的同学最少有多少人?( )
A.8 B.9
C.10 D.11
E.12 F.13
G.14 H.15
【答案】F
【解析】
本题出现了“既…又”,等同于“两者都”。设两者都喜欢的人数为x,两者都不喜欢的人数为y,根据两集合容斥原理公式,得25+30-x=42-y,解得x=13+y,x取得最小值的前提是y=0,此时x=13。
因此,选择F选项。
(二)画图法
当二集合容斥问题的题干中出现“只”满足或者“仅”满足某一个条件,且用公式法无法解决时,我们用画图法解题。具体将每一个数字标在对应的区域内,由内向外标记。
考点二:三集合容斥问题
三集合容斥问题是陕西省考比较偏爱的题型,比二集合容斥问题出现频率更高一些,需要引起考生的高度重视。同样解决三集合容斥问题一般采用公式法以及画图法。
(一)公式法
三集合容斥问题的公式:满足条件A的情况数+满足条件B的情况数+满足条件C的情况数-同时满足AB的情况数-同时满足AC的情况数-同时满足BC的情况数+同时满足ABC的情况数=总的情况数-三者都不满足的情况数。一般情况下,都可以使用公式法进行计算。
【例1】有关部门对120种抽样食品进行化验分析,结果显示,抗氧化剂达标的有68种,防腐剂达标的有77种,漂白剂达标的有59种,抗氧化剂和防腐剂都达标的有54种,防腐剂和漂白剂都达标的有43种,抗氧化剂和漂白剂都达标的有35种,三种食品添加剂都达标的有30种,那么三种食品添加剂都不达标的有( )种。
A.14 B.15
C.16 D.17
E.18 F.19
G.20 H.21
【答案】E
【解析】
根据题干,本题属于最基本三集合容斥问题,直接代公式进行计算。设三种食品添加剂都不达标的为x种,列出方程:68+77+59-54-43-35+30+x=120,解得x=18。
因此,选择E选项。
(二)画图法
当三集合容斥问题的题干中出现“只”满足或者“仅”满足某一个条件,且用公式法无法解决时,我们用画图法解题。具体将每一个数字标在对应的区域内,由内而外的标记,同二集合画图法一致。
【例2】在一项课题研究中,数据搜集方式有问卷调研、当面访谈与电话访谈三种。参加问卷调研的有27人,参加电话访谈的有21人。参加了三种数据搜集方式的有5人,既参加问卷调研又参加当面访谈的有9人,既参加问卷调研又参加电话访谈的有12人,既参加当面访谈又参加电话访谈的有7人。已知只参加当面访谈的人数占数据搜集人员总数的20%,则数据搜集人员共有( )人。
A.45 B.50
C.55 D.60
E.65 F.70
G.75 H.80
【答案】A
【解析】
根据题意,出现“只”参加当面访谈的人数,用画图法解题。设“只”参加当面访谈的人数为x人,则数据搜集人员为5x人。用画图法解题,如下图所示:
列式得:27+21-(12-5)-5+x=5x,解得x=9,则5x=45。
因此,选择A选项。
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