2017-09-01 14:47:06 重庆华图 https://cq.huatu.com/ 文章来源：未知
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1.定义
(1)约数与倍数
若数a能被b整除，则称数a为数b的倍数，数b为数a的约数。其中，一个数的最小约数是1，则最大约数是它本身。
(2)公约数与最大公约数
几个自然数公有的约数，叫做这几个自然数的公约数。
公约数中最大的一个，称为这几个自然数的最大公约数。
(3)公倍数与最大公倍数
几个自然数公有的倍数，叫做这几个自然数的公倍数。
公倍数中最小的一个，称为这几个自然数的最小公倍数。
考试题型一般是已知两个数，求它们的最大公约数或最小公倍数。
2.核心知识点
(1)两个数最大公约数和最小公倍数
一般采用短除法，即用共同的质因数连续去除，直到所得的商互质为止。
l把共同的质因数连乘起来，就是这两个数的最大公约数。
l把共同的质因数和各自独有的质因数连乘起来，就是这两个数的最小公倍数。
如：求24、36的最大公约数与最小公倍数。
24、36的最大公约数为其共同质因数的乘积，即2×2×3=12;
24、36的最小公倍数为其共同质因数及独有质因数的乘积，即(2×2×3)×(2×3) =72。
(2)三个数最大公约数和最小公倍数
l求取三个数的最大公约数时，短除至三个数没有共同的因数(除1外)，然后把所有共同的质因数连乘起来。
l求取三个数的最小公倍数时，短除到三个数两两互质，然后把共同的质因数和各自独有的质因数连乘起来。
如：求24、36、90的最大公约数和最小公倍数。
3.核心知识使用详解
(1)两个数如果存在着倍数关系，那么较小的数就是其最大公约数，较大的数就是其最小公倍数。
(2)互质的两个数的最大公约数是1，最小公倍数是它们的乘积。
(3)利用短除法求取三个数的最大公约数和最小公倍数时要注意二者的区别：求取三个数的最大公约数时，只需短除到三个数没有共同的因数(除l外)即可;而求取三个数的最小公倍数时，需要短除到三个数两两互质为止。
(4)多于三个数的最大公约数与最小公倍数的求法与三个数的求法相似。
约数和倍数的考点属于基础计算问题的范畴，国考数学运算的部分现在单独考察基础计算的题型不多，但是对于约束/倍数和其他考点结合的题型考察较频繁，如最大公约数和植树问题的杂糅以及最小公倍数和时间问题的杂糅等题型，接下来通过下面的例子来了解这些知识点是如何应用的，首先来看一下俩个数字最大公约数求解的问题：
【例1】(2012-安徽-68)如图，街道XYZ在Y处拐弯，XY=1125米，YZ=855米，在街道一侧等距装路灯，要求X,Y,Z处各装一盏路灯，这条街道最少要安装多少盏路灯?( )
A. 47B. 46
C. 45D. 44
【答案】C
【解析】本题为植树问题，街道要安装路灯最少，则间隔要尽量的大，但侧等距装路灯，并要求X,Y,Z处各装一盏路灯，则两盏路灯之间的间隔应该为两条路长度的最大公约数，1125和855的最大公约数为45，1125÷45=25，855÷45 =19，根据植树问题的公式：棵数=路长÷间隔长+1，因此需安装路灯25+19+1=45，故本题应选C。
而在考试当中涉及到三个数字的最大公约数尤其是最小公倍数的问题考察是非常广泛的，如下面的例题：
【例2】三根铁丝，长度分别是120厘米，180厘米，300厘米，现在要把它们截成相等的小段，每段都不能有剩余，那么最少可截成多少段?
A.8B.9
C.10D.11
【答案】 C
【解析】要把它们截成相等的小段，每段都不能有剩余，那么最少可截成多少段，则每段的长度应为三根铁丝的最大公约数， 通过短除法可知120、180和300的最大公约数为：2×2×3×5=60。
所以每小段的长度最大是60厘米，一共可截成120÷60+180÷60+300÷60=10段。因此，正确答案为C选项。
【例3】6枚1分硬币叠在一起与5枚2分硬币一样高，6枚2分硬币叠在一起与5枚5分硬币一样高，如果用1分、2分、5分硬币分别叠成的三个圆柱体一样高，这些硬币的币值为4元4角2分，那么这三种硬币总共有多少枚?
A.180B.181
C.182D.183
【答案】 C
【解析】 根据“6枚1分硬币叠在一起与5枚2分硬币一样高，6枚2分硬币叠在一起与5枚5分硬币一样高”，其中6、5、5的最小公倍数为30，则：36枚1分硬币、30枚2分硬币、25枚5分硬币叠成的圆柱体一样高;此时这些硬币的币值之和为221分，恰好为2元2角1分，是4元4角2分的一半，故4元4角2分由72枚1分硬币、60枚2分硬币和50枚5分硬币组成，即共有硬币72+60+50=182枚。因此，选C。
数学运算问题不但单独考察最小公倍数，还会结合时间问题来考察最小公倍数的求解
【例4】甲、乙、丙、丁四个人去图书馆借书，甲每隔5天去一次，乙每隔11天去一次，丙每隔17天去一次，丁每隔29天去一次。如果5月18日他们四个人在图书馆相遇，问下一次四个人在图书馆相遇是几月几号?
A.10月18日B.10月14日
C.11月18日D.11月14日
【答案】 D
【解析】 每隔n天去一次即每(n+1)天去一次，那么：甲每5+1=6天去一次图书馆，乙每11+1=12天去一次图书馆，丙每17+1=18天去一次图书馆，丁每29+1=30天去一次图书馆;要求下次相遇，也就是求6、12、18、30这四个数的最小公倍数，根据短除法，求出该值为180，即再过180天，四个人才能够再次在图书馆相遇，5月18日再经过180天，大概六个月左右，所以此时为11月14日。因此，正确答案为D选项。
相信通过以上的例题，大家都能够对公约数和公倍数问题有所掌握，那么咱么这次的“约会”就没有白白的浪费，希望大家都能有所收获，预祝大家都能考的圆梦、考的漂亮。
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