2022-06-06 09:34:04 重庆华图 https://cq.huatu.com/ 文章来源:华图教育
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排列组合中至少分配模型
“至少分配1个/n个”是排列组合问题中的一种常见模型,解决这类问题的方法是隔板法。由于这种模型有固定的套路,考生应该优先掌握这种模型。
隔板法适用的特征是:有若干个相同的元素要分成若干组;最基本的问法是:将M个相同的元素分给N个对象,每个对象至少分得一个的方式有多少种?
处理这种形式,在M个元素形成的M-1个空里,挑选N-1个空各插入一个板,就可以将M个元素分成N组,且每组不少于一个;
【例1】将7个大小相同的桔子分给4个小朋友,要求每个小朋友至少得到1个桔子,一共有几种分配方法?
A. 14 B.18
C.20 D.22
【答案】C
如上题可改为以下三种形式:
(1)将7个大小相同的桔子分给3个小朋友,要求每个小朋友至少得到1个桔子,一共有几种分配方法?
(2)将7个大小相同的桔子分给3个小朋友,要求每个小朋友至少得到2个桔子,一共有几种分配方法?
(3)将7个大小相同的桔子分给3个小朋友,一共有几种分配方法?
可以看出,这三种形式是有联系的,至少0个、至少1个、至少2个,空隙分别是9、6、3。有了这种转化,就可以轻松应对变形类的隔板法题目。
【例2】某领导要把20项任务分给三个下属,每个下属至少分得三项任务,则共有多少种不同的分配方式?
A.28 B.36
C.54 D.78
【答案】D
【例3】某人想要通过掷骰子的方法做一个决定,他同时掷3颗完全相同且均匀的骰子,如果向上的点数之和为4,他就做此决定,那么,他能做这个决定的概率是:
A.1/36 B.1/64
C.1/72 D.1/81
【答案】C
【解析】(1)枚举解法:
第一步,本题考查概率问题,属于基本概率。
第二类是考了十几年仍经久不衰的“答对、答错与不答”类题目。这类题目的分数可能,即n道题目分成3组,有多少种分法?此时需要先“借”3道,再进行插板应用。注意由于分值不同,需要去掉重复情况。
【例4】某次数学竞赛共有10道选择题,评分办法是答对一道得4分,答错一道扣1分,不答得0分。设这次竞赛最多有N种可能的成绩,则N应等于多少?
A.45 B.47
C.49 D.51
【答案】A
【解析】(1)枚举解法:
第一步,本题考查其他杂题。
第二步,答对10题最高为40分,答错10题最低为-10分,从-10到40共51个分值,其中,39、38、37、34、33、29共6个分值无法取得,N应等于51-6=45。因此,选择A选项。
(2)隔板解法:
【例5】某测验包含10道选择题,评分标准为答对得3分,答错扣1分,不答得0分,且分数可以为负数。如所有参加测验的人得分都不相同,问最多有多少名测验对象?
A.38 B.39
C.40 D.41
【答案】A
【解析】(1)枚举解法:
第一步,本题考查其他杂题。
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